试题

题目：
青果学院如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC=
4
3
4
3
，梯形ABCD的面积为
12
3
12
3
．
答案
4
3

12
3

青果学院解：∵在梯形ABCD中，AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴∠D+∠DCB=180°
∵∠D=120°
∴∠B=∠DCB=60°
∵对角线CA平分∠BCD
∴∠ACB=30°
∵AD=DC
∴∠DAC=∠ACD=30°
∴∠BAC=90°
∴BC=2AB
∵梯形的周长=AD+DC+BC+AB=5AB=20
∴AB=4
∴AC=4
3
，BC=8
过点A作AE⊥BC于点E
∵AB=4，AC=4
3
，BC=8
∴AE=2
3

∴梯形ABCD的面积=（4+8）×2
3
×
1
2
=12
3
．
故答案为：4
3
，12
3
．
考点梳理
等腰梯形的性质；勾股定理．
由已知可得梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质及已知可求得AB的长，从而不难求得AC的长，再过点A作AE⊥BC于点E，从而可求得AE的长，根据梯形面积公式不难求得其面积．
此题主要考查学生对等腰梯形的性质及勾股定理的综合运用能力，关键是弄清各边之间的关系，从而根据周长求得各边的长．
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