试题

（2008·辽宁）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4

2

，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．

（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

解：如图，（1）过G点作GM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4

2

，G为AB中点
∴GM=

2

（1分）
又∵G，F分别为AB，AC的中点
∴GF=

1

2

BC=2

2

（2分）
∴S_梯形DEFG=

1

2

（2

2

+4

2

）×

2

=6
∴等腰梯形DEFG的面积为6 （3分）

（2）①能为菱形（4分）
如图

由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形（6分）
当BD=BG=

1

2

AB=2时，四边形BDG′G为菱形
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形（8分）
②分两种情况
1、当0≤x＜2

2

时，
方法一：∵GM=

2

，∴S_·BDG′G=

2

x
∴重叠部分的面积为y=6-

2

x
∴当0≤x＜2

2

时，y与x的关系式为y=6-

2

x（10分）
方法二：当0≤x＜2

2

时，
∵FG′=2

2

-x，DC=4

2

-x，GM=

2

∴重叠部分的面积为y=

(2 2 -x)+(4 2 -x)

2

×

2

=6-

2

x（10分）
2、当2

2

≤x≤4

2

时，

设FC与DG′交于点P，则∠PDC=∠PCD=45°
∴∠CPD=90°，PC=PD
作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=

1

2

(4

2

-x)
∴重叠部分的面积为y=

1

2

×

1

2

(4

2

-x)×（4

2

-x）=

1

4

x²-2

2

x+8   （12分）
解：如图，（1）过G点作GM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4

2

，G为AB中点
∴GM=

2

（1分）
又∵G，F分别为AB，AC的中点
∴GF=

1

2

BC=2

2

（2分）
∴S_梯形DEFG=

1

2

（2

2

+4

2

）×

2

=6
∴等腰梯形DEFG的面积为6 （3分）

（2）①能为菱形（4分）
如图

由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形（6分）
当BD=BG=

1

2

AB=2时，四边形BDG′G为菱形
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形（8分）
②分两种情况
1、当0≤x＜2

2

时，
方法一：∵GM=

2

，∴S_·BDG′G=

2

x
∴重叠部分的面积为y=6-

2

x
∴当0≤x＜2

2

时，y与x的关系式为y=6-

2

x（10分）
方法二：当0≤x＜2

2

时，
∵FG′=2

2

-x，DC=4

2

-x，GM=

2

∴重叠部分的面积为y=

(2 2 -x)+(4 2 -x)

2

×

2

=6-

2

x（10分）
2、当2

2

≤x≤4

2

时，

设FC与DG′交于点P，则∠PDC=∠PCD=45°
∴∠CPD=90°，PC=PD
作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=

1

2

(4

2

-x)
∴重叠部分的面积为y=

1

2

×

1

2

(4

2

-x)×（4

2

-x）=

1

4

x²-2

2

x+8   （12分）