试题

如图（1），四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4个这样的等腰梯形可以拼成如图（2）所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探求四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图（1）中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请画出大致的示意图．

解：（1）如图∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
即∠1=120°，
所以图甲中梯形的上底角均为120°，下底角均为60度．

（2）∵EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，
∴梯形的腰等于上底，即MF=FN=EF，
连接MN，
∵∠3=120°，MF=FN，
∴∠FMN=∠FNM=

180°-∠3

2

=

180°-120°

2

=30°，
∴∠HMN=30°，∠HNM=90°，
∴NH=

1

2

MH，因此梯形的上底等于下底长的一半，且等于腰长．
故四边形ABCD四条边之间存在的等量关系为：AD=AB=BC=

1

2

DC．

（3）能拼出菱形，如图：

梯形ABCD中，∠A=∠B=60°，
则可作为正三角形的顶角，
而∠D=∠C，则腰与上底可镶嵌在同一点周围能完成一个正三角形，
故能拼出菱形．
解：（1）如图∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
即∠1=120°，
所以图甲中梯形的上底角均为120°，下底角均为60度．

（2）∵EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，
∴梯形的腰等于上底，即MF=FN=EF，
连接MN，
∵∠3=120°，MF=FN，
∴∠FMN=∠FNM=

180°-∠3

2

=

180°-120°

2

=30°，
∴∠HMN=30°，∠HNM=90°，
∴NH=

1

2

MH，因此梯形的上底等于下底长的一半，且等于腰长．
故四边形ABCD四条边之间存在的等量关系为：AD=AB=BC=

1

2

DC．

（3）能拼出菱形，如图：

梯形ABCD中，∠A=∠B=60°，
则可作为正三角形的顶角，
而∠D=∠C，则腰与上底可镶嵌在同一点周围能完成一个正三角形，
故能拼出菱形．