试题

如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．
（1）求证：DH=

1

2

（AD+BC）；
（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．

（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）
∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形．（2分）
∴CE=AD，DE=AC．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=DE．
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD．
∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）
∵DH⊥BC，
∴DH=

1

2

BE=

1

2

（CE+BC）=

1

2

（AD+BC）．（5分）

（2）解：∵AD=CE，
∴SABCD=

1

2

(AD+BC)·DH=

1

2

(CE+BC)·DH=S△DBE．（7分）
∵△DBE为等腰直角三角形，BD=DE=6，
∴S△DBE=

1

2

×6×6=18．
∴梯形ABCD的面积为18．（8分）
注：此题解题方法并不唯一．
（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）
∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形．（2分）
∴CE=AD，DE=AC．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=DE．
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD．
∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）
∵DH⊥BC，
∴DH=

1

2

BE=

1

2

（CE+BC）=

1

2

（AD+BC）．（5分）

（2）解：∵AD=CE，
∴SABCD=

1

2

(AD+BC)·DH=

1

2

(CE+BC)·DH=S△DBE．（7分）
∵△DBE为等腰直角三角形，BD=DE=6，
∴S△DBE=

1

2

×6×6=18．
∴梯形ABCD的面积为18．（8分）
注：此题解题方法并不唯一．