试题

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3，AD=1，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．①当AB=BE时，CF=；②AB=AE时，CF=；③EA=EB时，CF=．

解：过点D作DM∥AB交BC于M，得到·ABDM和等腰△DMC．
∴BM=AD=1，CM=BC-BM=3-1=2．
在△DMC中，∠DMC=∠C=∠B=45°，
∴∠MDC=90°，
∴△MDC是等腰直角三角形．
∴CD=DM=

2

2

CM=

2

，
∴AB=

2

．

①当AB=BE=

2

时，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=3-

2

；

②当AB=AE=

2

时，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=45°，∠BAE=90°，
∴BE=

2

AB=2，
∴CE=BC-BE=3-2=1．
又∵∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-45°-45°=90°，∠C=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=

2

CE=

2

；

③当EA=EB时，
∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，∠BEA=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE=

2

2

AB=1．
∵AD=1，∠DAE=90°，∠AED=∠AEF=45°，
∴点D与点F重合．
在△CDE中，∠C=∠CED=45°，CE=BC-BE=3-1=2，
∴CF=

2

2

CE=

2

．