试题

题目：
青果学院如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．
（1）求证：△AGD为正三角形；
（2）求EF的长度．
答案
青果学院（1）证明：连接BE，
∵梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，
∴∠GCB=∠GBC，
又∵∠BGC=∠AGD=60°
∴△AGD为等边三角形，

（2）解：∵BE为△BCG的中线，
∴BE⊥AC，
在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，
∴EF=
1
2
AB=5cm．
青果学院（1）证明：连接BE，
∵梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，
∴∠GCB=∠GBC，
又∵∠BGC=∠AGD=60°
∴△AGD为等边三角形，

（2）解：∵BE为△BCG的中线，
∴BE⊥AC，
在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，
∴EF=
1
2
AB=5cm．
考点梳理
等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
（1）连接BE，根据等腰三角形的性质可证△BCG为等腰三角形，又∠BGC=∠AGD=60°，可证△AGD等边三角形；
（2）已知BE为中线，故也是CG边上的高，由此可得△ABE为直角三角形，而EF是斜边AB上的中线，根据直角三角形的性质可知EF为AB的一半．
本题考查了等边三角形、直角三角形的判定与性质，体现了梯形问题转化为三角形问题的解题思想．
压轴题．
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