试题

（2013·郑州模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD=3

2

，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD所在的直线交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．

解：，过D作DH⊥BC于H，
∵BC=3AD=3

2

，
∴AD=

2

，
∴AB=2，
有三种情况：
，如图所示①：①当AE=BE时，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BE=CH=

1

2

（3

2

-

2

）=

2

，
由勾股定理得：AB=2，
∴CE=BC-BE=3

2

-

2

=2

2

，
∵∠B=∠BAE=45°，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEC=180°-90°-45°=45°=∠C，
∴∠EFC=180°-45°-45°=90°，
∴由勾股定理得：CF=EF=2；
②如图②，当AB=AE=2时，
由勾股定理求得：BE=2

2

，
∴CE=BC-BE=3

3

-2

2

=

2

，
同理可得∠FEC=90°，∠EFC=45°=∠C，
由勾股定理得：CF=

CE2+EF2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2；
③如图③，
如图当AB=BE=2时，
∵∠AEB=∠BAE=

1

2

（180°-∠B）=67.5°，
∴∠FEC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∵∠C=45°，
∴∠CFE=180°-∠C-∠FEC=67.5°=∠FEC，
∴CF=CE=BC-BE=3

2

-2，
故答案为：3

2

-2或2．