试题

（2009·太原）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4

2

，∠B=45度．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．

解：根据已知条件可得，作AM⊥BC，DN⊥BC，

∴BM=（BC-AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB=

BM

AB

，
则AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3，
①当AB=AE（AE′）时，如图，
∠B=45°，∠AE′B=45°，
∴AE′=AB=3，
则在Rt△ABE′中，BE′=

32+32

=3

2

，
故E′C=4

2

-3

2

=

2

．
易得△FE′C为等腰直角三角形，
故FC=

( 2 )2+( 2 )2

=2．

②当AB=BE″时，
∵AB=3，
∴BE″=3，
∵∠AE″B=∠BAE″=（180-45）÷2=67.5°，
∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，
∵△E″CF为等腰三角形，
∴CF=CE″=CB-BE″=4

2

-3；

③当AE=BE时，△ABE′和△CFE′是等腰Rt△，
∴BE′=

3 2

2

，
∴CE′=

5 2

2

∴CF=FE′=

5

2

．
故答案为：

5

2

，2，4

2

-3．