试题

（2013·黄冈模拟）如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为

10

，tan∠ABO=3．直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以

2

个单位每秒速度运动，运动时间为t．
求：（1）分别写出A、C、D、P的坐标；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值．

解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
（2）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直线AB的解析式为：y=-3x+3①；
直线OP的解析式为：y=x②，
①②联立得

x= 3 4 y= 3 4

，
∴N（

3

4

，

3

4

），
直线CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程组：

y=-3x+13 y=x

，解得：

x= 13 4 y= 13 4

．
则M的坐标是：（

13

4

，

13

4

），
∴ON=

3

4

2

，OM=

13

4

2

，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，
10+MD²=（

13

4

）²+（

1

4

）²，
∴DM=

10

4

，
AN=

AE2+EN2

=

3 10

4

．
当∠MDR=45°时，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO与△DMR相似，则△ANO∽△RMD，
∴

MR

DM

=

AN

NO

，即

MR

10 4

=

3 10 4

3 2 4

，
解得：MR=

5 2

4

，
则OR=OM-MR=2

2

．
∴t=2，
同理可得：当∠DRM=45°时，t=3，△ANO与△DMR相似，
综上可知：t=2或3时当△ANO与△DMR相似；
（3）①∵R速度为

2

，H速度为1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH=OH=t，
设△HCR的边RH的高为h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h·t·

1

2

2=|-t²+4t|·

1

2

，
∴S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4）；S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R为顶点的梯形，有两种可能：
1．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．
延长AD，使其与OM相交于点R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

，
∴直线AD为：y=

x

3

+3．
∴R坐标为（4.5，4.5），
∴此时四边形ABCR为梯形为梯形，
∴t=4.5
2．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
∴CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
∴直线CD为：y-1=-3·（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（

13

4

，

13

4

），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=

13

4

，
∴当CR∥AB时，t=

13

4

，S=

39

32

，
当AR∥BC时，t=

9

2

，S=

9

8

，
当BR∥AC时，t=

1

3

，S=

11

18

．
（3）①分两种情况：
一、0＜t≤4，H在E点左侧；
易知RH=t，HE=4-t，故S=

1

2

RH·HE=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t；
二、t＞4，H在E点右侧；
易知RH=t，HE=t-4，故S=

1

2

RH·HE=

1

2

t（t-4）=

1

2

t²-2t；
②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
一、CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）点横坐标为

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

，代入S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）可得S=

39

32

；
同理可求得：
二、AR∥BC时，t=

9

2

，S=

9

8

；
三、BR∥AC时，t=

1

3

，S=

11

18

；
综合①②可得：
S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；（1分）
S=

1

2

t²-2t（t＞4）．（1分）
当CR∥AB时，t=

13

4

，（1分）
S_最大=

39

32

；（1分）
当AR∥BC时，t=

9

2

，S_最大=

9

8

；（1分）
当BR∥AC时，t=

1

3

，S_最大=

11

18

．（1分）
解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
（2）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直线AB的解析式为：y=-3x+3①；
直线OP的解析式为：y=x②，
①②联立得

x= 3 4 y= 3 4

，
∴N（

3

4

，

3

4

），
直线CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程组：

y=-3x+13 y=x

，解得：

x= 13 4 y= 13 4

．
则M的坐标是：（

13

4

，

13

4

），
∴ON=

3

4

2

，OM=

13

4

2

，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，
10+MD²=（

13

4

）²+（

1

4

）²，
∴DM=

10

4

，
AN=

AE2+EN2

=

3 10

4

．
当∠MDR=45°时，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO与△DMR相似，则△ANO∽△RMD，
∴

MR

DM

=

AN

NO

，即

MR

10 4

=

3 10 4

3 2 4

，
解得：MR=

5 2

4

，
则OR=OM-MR=2

2

．
∴t=2，
同理可得：当∠DRM=45°时，t=3，△ANO与△DMR相似，
综上可知：t=2或3时当△ANO与△DMR相似；
（3）①∵R速度为

2

，H速度为1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH=OH=t，
设△HCR的边RH的高为h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h·t·

1

2

2=|-t²+4t|·

1

2

，
∴S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4）；S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R为顶点的梯形，有两种可能：
1．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．
延长AD，使其与OM相交于点R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

，
∴直线AD为：y=

x

3

+3．
∴R坐标为（4.5，4.5），
∴此时四边形ABCR为梯形为梯形，
∴t=4.5
2．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
∴CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
∴直线CD为：y-1=-3·（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（

13

4

，

13

4

），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=

13

4

，
∴当CR∥AB时，t=

13

4

，S=

39

32

，
当AR∥BC时，t=

9

2

，S=

9

8

，
当BR∥AC时，t=

1

3

，S=

11

18

．
（3）①分两种情况：
一、0＜t≤4，H在E点左侧；
易知RH=t，HE=4-t，故S=

1

2

RH·HE=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t；
二、t＞4，H在E点右侧；
易知RH=t，HE=t-4，故S=

1

2

RH·HE=

1

2

t（t-4）=

1

2

t²-2t；
②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
一、CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）点横坐标为

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

，代入S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）可得S=

39

32

；
同理可求得：
二、AR∥BC时，t=

9

2

，S=

9

8

；
三、BR∥AC时，t=

1

3

，S=

11

18

；
综合①②可得：
S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；（1分）
S=

1

2

t²-2t（t＞4）．（1分）
当CR∥AB时，t=

13

4

，（1分）
S_最大=

39

32

；（1分）
当AR∥BC时，t=

9

2

，S_最大=

9

8

；（1分）
当BR∥AC时，t=

1

3

，S_最大=

11

18

．（1分）