试题

（1997·陕西）如图所示的抛物线是把y=-x²经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P；
①当∠OPA=90°时，求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在-

1

2

≤x≤

1

2

时的最大值和最小值．

解：（1）∵抛物线由y=-x²平移得到，
∴设y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵抛物线过（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
过P作PM⊥x轴于M，OM=a，PM=a²
∵P是抛物线顶点，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM=

OA

2

=OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），抛物线的解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知抛物线的顶点P（1，1），解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴抛物线对应的二次函数在-

1

2

≤x≤

1

2

时，当x=

1

2

时，y_最大=-

1

4

+2×

1

2

=

3

4

；
当x=-

1

2

时，y_最小=

1

4

-2×

1

2

=-

3

4

．
解：（1）∵抛物线由y=-x²平移得到，
∴设y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵抛物线过（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
过P作PM⊥x轴于M，OM=a，PM=a²
∵P是抛物线顶点，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM=

OA

2

=OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），抛物线的解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知抛物线的顶点P（1，1），解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴抛物线对应的二次函数在-

1

2

≤x≤

1

2

时，当x=

1

2

时，y_最大=-

1

4

+2×

1

2

=

3

4

；
当x=-

1

2

时，y_最小=

1

4

-2×

1

2

=-

3

4

．