试题

（2010·福州）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴

AH

AD

=

EF

BC

；

（2）解：由（1）得

AH

8

=

x

10

，∴AH=

4

5

x
∴EQ=HD=AD-AH=8-

4

5

x
∴S_矩形EFPQ=EF·EQ=x（8-

4

5

x）=-

4

5

x²+8x=-

4

5

（x-5）²+20
∵-

4

5

＜0，
∴当x=5时，S_矩形EFPQ有最大值，最大值为20；

（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
分三种情况讨论：
①如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S=S_矩形EFPQ-S_Rt△MFN=20-

1

2

t²=-

1

2

t²+20

②如图3
当4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S_梯形EMCQ=

1

2

[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28

③如图4
当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9-t
∴S=S_△KQC=

1

2

（9-t）²=

1

2

（t-9）²
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=

- 1 2 t2+20(0≤t＜4) -4t+28(4≤t＜5) 1 2 (t-9)2(5≤t≤9)

．
（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴

AH

AD

=

EF

BC

；

（2）解：由（1）得

AH

8

=

x

10

，∴AH=

4

5

x
∴EQ=HD=AD-AH=8-

4

5

x
∴S_矩形EFPQ=EF·EQ=x（8-

4

5

x）=-

4

5

x²+8x=-

4

5

（x-5）²+20
∵-

4

5

＜0，
∴当x=5时，S_矩形EFPQ有最大值，最大值为20；

（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
分三种情况讨论：
①如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S=S_矩形EFPQ-S_Rt△MFN=20-

1

2

t²=-

1

2

t²+20

②如图3
当4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S_梯形EMCQ=

1

2

[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28

③如图4
当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9-t
∴S=S_△KQC=

1

2

（9-t）²=

1

2

（t-9）²
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=

- 1 2 t2+20(0≤t＜4) -4t+28(4≤t＜5) 1 2 (t-9)2(5≤t≤9)

．