试题

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．

解：能．
证明：过点B作BG⊥CD，垂足为G，过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）
∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．
故PE+PF的值是为一定值．
解：能．
证明：过点B作BG⊥CD，垂足为G，过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）
∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．
故PE+PF的值是为一定值．