试题

（2011·新疆）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．

解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=

5 2

2

；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，则△CQF是等腰直角三角形．
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=

2

2

x，
设△PQC的面积为y，
∴y=（9-x）·

2

2

x·

1

2

，
即y=-

2

4

x2+

9 2

4

x=-

2

4

(x-

9

2

)2+

81 2

16

，
∵AB=

5 2

2

，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．BP=x，
∴0＜x≤

5 2

2

＜

9

2

，
∴当x=

5 2

2

时，△PQC的面积最大，最大值为：
S=

1

2

PC·QF=

1

2

（9-

5

2

2

）×

5

2

=

45

4

-

25 2

8

；

（3）不存在，
若存在，则PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=

9

2

，
而

9

2

＞

5

2

2

，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．
解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=

5 2

2

；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，则△CQF是等腰直角三角形．
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=

2

2

x，
设△PQC的面积为y，
∴y=（9-x）·

2

2

x·

1

2

，
即y=-

2

4

x2+

9 2

4

x=-

2

4

(x-

9

2

)2+

81 2

16

，
∵AB=

5 2

2

，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．BP=x，
∴0＜x≤

5 2

2

＜

9

2

，
∴当x=

5 2

2

时，△PQC的面积最大，最大值为：
S=

1

2

PC·QF=

1

2

（9-

5

2

2

）×

5

2

=

45

4

-

25 2

8

；

（3）不存在，
若存在，则PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=

9

2

，
而

9

2

＞

5

2

2

，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．