试题

（2013·郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM=

1

2

CP=

x

2

，tanC=tanA=k，
∴EM=CM·tanC=

x

2

·k=

kx

2

，
同理：FN=AN·tanA=

8-x

2

·k=4k-

kx

2

，
由于BH=AH·tanA=

1

2

×8·k=4k，
而EM+FN=

kx

2

+4k-

kx

2

=4k，
∴EM+FN=BH；

（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16-2x，BH=16，
所以，S_△PCE=

1

2

x·2x=x²，S_△APF=

1

2

（8-x）·（16-2x）=（8-x）²，S_△ABC=

1

2

×8×16=64，
S=S_△ABC-S_△PCE-S_△APF，
=64-x²-（8-x）²，
=-2x²+16x，
配方得，S=-2（x-4）²+32，
所以，当x=4时，S有最大值32．
（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM=

1

2

CP=

x

2

，tanC=tanA=k，
∴EM=CM·tanC=

x

2

·k=

kx

2

，
同理：FN=AN·tanA=

8-x

2

·k=4k-

kx

2

，
由于BH=AH·tanA=

1

2

×8·k=4k，
而EM+FN=

kx

2

+4k-

kx

2

=4k，
∴EM+FN=BH；

（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16-2x，BH=16，
所以，S_△PCE=

1

2

x·2x=x²，S_△APF=

1

2

（8-x）·（16-2x）=（8-x）²，S_△ABC=

1

2

×8×16=64，
S=S_△ABC-S_△PCE-S_△APF，
=64-x²-（8-x）²，
=-2x²+16x，
配方得，S=-2（x-4）²+32，
所以，当x=4时，S有最大值32．