试题

（2013·衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE²+CF²的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴

DM

PD

=

AP

AB

，
即

DM

4-x

=

x

4

，
∴DM=

x(4-x)

4

=x-

1

4

x²，
当x=2时，DM有最大值为1．
解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴

DM

PD

=

AP

AB

，
即

DM

4-x

=

x

4

，
∴DM=

x(4-x)

4

=x-

1

4

x²，
当x=2时，DM有最大值为1．