试题

如图，△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC绕点C旋转，CD、CE分别与AB相交于点F、G（都不与A、B点重合），设BG=x．回答下列问题：
（1）设CG=y₁，请探究y₁与x的函数关系，并直接写出y₁的最小值；
（2）设AF=y₂，请探究y₂与x的函数关系．

解：（1）过点C作CH⊥AB于点H，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=

AB2-BC2

=2

3

，
∵

AC·BC

2

=

CH·AB

2

，
∴CH=

AC·BC

AB

=

2 3 ×2

4

=

3

，
∴BH=

BC2-CH2

=1，
∵BG=x，
∴HG=1-x，
在Rt△CHG中，
CG²=CH²+HG²，
即y₁²=（

3

）²+（1-x）²
∴y1=

(x-1)2+3

，
∴y₁的最小值是当x=1时是

3

；

（2）∵∠CAB=∠DCE，∠FGC=∠FGC，
∴△ACG∽△CGF，
∴

FG

CG

=

CG

AG

，
即CG²=AG·FG，
∵BG=x，AB=4，AF=y₂，
∴AG=4-x，FG=4-x-y₂，
∴3+（1-x）²=（4-x）（4-x-y₂），
∴y₂=

6x-12

x-4

．
解：（1）过点C作CH⊥AB于点H，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=

AB2-BC2

=2

3

，
∵

AC·BC

2

=

CH·AB

2

，
∴CH=

AC·BC

AB

=

2 3 ×2

4

=

3

，
∴BH=

BC2-CH2

=1，
∵BG=x，
∴HG=1-x，
在Rt△CHG中，
CG²=CH²+HG²，
即y₁²=（

3

）²+（1-x）²
∴y1=

(x-1)2+3

，
∴y₁的最小值是当x=1时是

3

；

（2）∵∠CAB=∠DCE，∠FGC=∠FGC，
∴△ACG∽△CGF，
∴

FG

CG

=

CG

AG

，
即CG²=AG·FG，
∵BG=x，AB=4，AF=y₂，
∴AG=4-x，FG=4-x-y₂，
∴3+（1-x）²=（4-x）（4-x-y₂），
∴y₂=

6x-12

x-4

．