试题

（2009·安庆二模）如图，已知A（3，0），B(

3

2

，

3 3

2

)，动点P、Q同时从O、B两点出发，分别沿OA、BO方向匀速移动，它们的速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）设△OPQ的面积为y个平方单位，求y与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，QP²有最小值？最小值是多少？
（3）是否存在某个时刻t，能使△OPQ的面积为

3

2

个平方单位？若存在，求出相应的t值，并判断△OPQ的形状；如果不存在，说明理由．

解：（1）如图，过点B作BM⊥OA于点M，在Rt△QOM中，
OB=

OM2+BM2

=

( 3 2 )2+( 3 3 2 )2

=3，tan∠BOA=

3 3 2

3 2

=

3

所以∠BOA=60°．又OP=t，BQ=t，则QO=3-t，…（3分）
过点Q作QC⊥OA于点C，则在Rt△QOC中，QC=sin60°×QO=

3 (3-t)

2

，
所以y=

1

2

×QC×OP=

3 t(3-t)

4

(0≤t≤3)．               …（5分）

（2）在Rt△QOC中，OC=cos60°×QO=

3-t

2

在Rt△QPC中，PC=|OC-OP|=

3

2

|1-t|，PC²+QC²=QP²，
∴QP2=(

3

2

|1-t|)2+[

3 (3-t)

2

]2=3t2-9t+9=3(t-

3

2

)2+

9

4

…（8分）
∵0＜t=

3

2

＜3，∴当t=

3

2

时，QP²有最小值，最小值是

9

4

．…（10分）

（3）∵S△BPQ=

3

2

，
∴

3 t(3-t)

4

=

3

2

，即t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2经检验，t₁、t₂都符合题意．
故存在某个时刻即当 t=1s或t=2s时，能使△OPQ的面积为

3

2

．…（12分）
①当t=1时，OP=1，QO=2，则 OC=cos60°×QO=

1

2

×2=1，所以点P与点C重合，因此△OPQ为直角三角形；
②当t=2时，OP=2，QO=1，则QP²=3×2²-9×2+9=3，所以QO²+QP²=OP²，因此△OPQ为直角三角形．
综上，当t=1s或t=2s时，△OPQ为直角三角形．      …（14分）
解：（1）如图，过点B作BM⊥OA于点M，在Rt△QOM中，
OB=

OM2+BM2

=

( 3 2 )2+( 3 3 2 )2

=3，tan∠BOA=

3 3 2

3 2

=

3

所以∠BOA=60°．又OP=t，BQ=t，则QO=3-t，…（3分）
过点Q作QC⊥OA于点C，则在Rt△QOC中，QC=sin60°×QO=

3 (3-t)

2

，
所以y=

1

2

×QC×OP=

3 t(3-t)

4

(0≤t≤3)．               …（5分）

（2）在Rt△QOC中，OC=cos60°×QO=

3-t

2

在Rt△QPC中，PC=|OC-OP|=

3

2

|1-t|，PC²+QC²=QP²，
∴QP2=(

3

2

|1-t|)2+[

3 (3-t)

2

]2=3t2-9t+9=3(t-

3

2

)2+

9

4

…（8分）
∵0＜t=

3

2

＜3，∴当t=

3

2

时，QP²有最小值，最小值是

9

4

．…（10分）

（3）∵S△BPQ=

3

2

，
∴

3 t(3-t)

4

=

3

2

，即t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2经检验，t₁、t₂都符合题意．
故存在某个时刻即当 t=1s或t=2s时，能使△OPQ的面积为

3

2

．…（12分）
①当t=1时，OP=1，QO=2，则 OC=cos60°×QO=

1

2

×2=1，所以点P与点C重合，因此△OPQ为直角三角形；
②当t=2时，OP=2，QO=1，则QP²=3×2²-9×2+9=3，所以QO²+QP²=OP²，因此△OPQ为直角三角形．
综上，当t=1s或t=2s时，△OPQ为直角三角形．      …（14分）