试题

（2009·从化市二模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A·B，B·C，C·D，D·A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm²），运动时间为t（s）．
（1）试证明四边形EFGH是正方形；
（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
且AB=BC=CD=DA，
∴EB=FC=GD=HA，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的对应边相等），
∠AEH=∠BFE（全等三角形的对应角相等），
∴四边形EFGH是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．

（2）∵运动时间为t（s），运动速度为1cm/s，
∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，
由（1）知四边形EFGH为正方形，
∴S=EH²=AE²+AH²=t²+（4-t）²
即S=2t²-8t+16=2（t-2）²+8，
当t=2秒时，S有最小值，最小值是8cm²；

（3）存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8．
∵S=

5

8

S_{正方形ABCD}，
∴2（t-2）²+8=

5

8

×16，∴t₁=1，t₂=3；
当t=1或3时，
四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8．
解：（1）∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
且AB=BC=CD=DA，
∴EB=FC=GD=HA，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的对应边相等），
∠AEH=∠BFE（全等三角形的对应角相等），
∴四边形EFGH是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．

（2）∵运动时间为t（s），运动速度为1cm/s，
∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，
由（1）知四边形EFGH为正方形，
∴S=EH²=AE²+AH²=t²+（4-t）²
即S=2t²-8t+16=2（t-2）²+8，
当t=2秒时，S有最小值，最小值是8cm²；

（3）存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8．
∵S=

5

8

S_{正方形ABCD}，
∴2（t-2）²+8=

5

8

×16，∴t₁=1，t₂=3；
当t=1或3时，
四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8．