题目:
(2010·朝阳区二模)如图,平行四边形ABCD中,AD=8,CD=4,∠D=60°.点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点,点P以每秒1个单位长度的速度,从点C运动到点D,点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点随之停

止运动.点P与点Q同时出发,设运动时间为t,△CPQ的面积为S.
(1)求S关于t的函数关系式;
(2)求出S的最大值;
(3)t为何值时,以△CPQ的一边所在直线为轴翻折,翻折前后的两个三角形所组成的四边形是菱形?
答案

解:(1)①当0<t≤2时,如图1,过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E,
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4,由勾股定理得:BE=4
,
∴CP=t,S=
CP·BE=×4t=2t②当2<t≤4时,如图2,CP=t,BQ=2t-4,
CQ=8-(2t-4)=12-2t;∠DCF=∠B=60°,
∵∠F=90°,
∴∠CDF=30°,
∴CF=
t,由勾股定理得:PF=
t,
S=
CQ×PF=
×(12-2t)×
t,
即S=-
t
2+3
t.
(2)过点P作PF⊥BC,交BC的延长线于F点,
∵∠PCF=∠D=60°,
∴PF=
t,
∴S
△CPQ=-
t
2+3
t=-
(t-3)
2+
,
t=3时,S有最大值
.
综上,S的最大值为
;
(3)当0<t≤2时,△CPQ不是等腰三角形,所以不存在符合条件的菱形.
当2<t≤4时,令CQ=CP,即t=12-2t,解得t=4.
∴当t=4时,△CPQ为等腰三角形,
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折,翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形.

解:(1)①当0<t≤2时,如图1,过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E,
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4,由勾股定理得:BE=4
,
∴CP=t,S=
CP·BE=×4t=2t②当2<t≤4时,如图2,CP=t,BQ=2t-4,
CQ=8-(2t-4)=12-2t;∠DCF=∠B=60°,
∵∠F=90°,
∴∠CDF=30°,
∴CF=
t,由勾股定理得:PF=
t,
S=
CQ×PF=
×(12-2t)×
t,
即S=-
t
2+3
t.
(2)过点P作PF⊥BC,交BC的延长线于F点,
∵∠PCF=∠D=60°,
∴PF=
t,
∴S
△CPQ=-
t
2+3
t=-
(t-3)
2+
,
t=3时,S有最大值
.
综上,S的最大值为
;
(3)当0<t≤2时,△CPQ不是等腰三角形,所以不存在符合条件的菱形.
当2<t≤4时,令CQ=CP,即t=12-2t,解得t=4.
∴当t=4时,△CPQ为等腰三角形,
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折,翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形.