试题

（2010·大连二模）有一张长比宽多8cm的矩形纸板．如果在纸板的四个角处各剪去一个正方形（如图所示），可制成高是4cm，容积是512cm³的一个无盖长方体纸盒．
（1）求矩形纸板的长和宽；
（2）在操作过程中，由于不小心，矩形纸板被剪掉一角，其直角边长分别为3cm和6cm．如果在剩余的纸板上先裁剪一个各边与原矩形纸板各边平行或重合的矩形，然后再按如图裁剪方式制作高仍是4cm的无盖长方体纸盒，那么你认为如何裁剪才能使制作的长方体纸盒的容积最大，请画出草图，并说明理由．

解：（1）设矩形纸板的宽为xcm，则长为（x+8）cm．（1分）
根据题意，得4（x-8）（x+8-8）=512，（3分）
解得，x₁=16，x₂=-8（不合题意，舍去）（4分）
∴x+8=24（cm）．（5分）
答：矩形纸板的长和宽分别24cm，16cm．

（2）设所裁剪的矩形是CGHP，延长GH交ND于点M
∵HM∥BN，
∴△HME∽△ANE，
∴

HM

AN

=

ME

NE

．
分两种情况：
当3cm的边在BN上时（如图1）（6分）
设NM为x，则

HM

3

=

6-x

6

．
∴HM=3-

x

2

，∴GH=16-（3-

x

2

）=13+

x

2

；
∴V=4（13+

x

2

-8）（24-x-8）（8分）
=-2（x²-6x-160）=-2（x-3）²+338．
∴当NM为3cm时，长方体纸盒的容积最大．（9分）
当6cm的边在BN上时（如图2）．（10分）
设NM为x，
∴

HM

6

=

3-x

3

，∴HM=6-2x
∴GH=16-（6-2x）=10+2x，
∴V=4（10+2x-8）（24-x-8），
=-8（x-7.5）²+578．（11分）
∵0≤x≤3，且-8＜0，∴V随x增大而增大，
∴当NM为3cm时，长方体纸盒的容积最大．（12分）
综上所知，在BC上取点G，使BG=3cm，这样裁剪的矩形GHPC能使所制作的长方体纸盒的容积最大．
解：（1）设矩形纸板的宽为xcm，则长为（x+8）cm．（1分）
根据题意，得4（x-8）（x+8-8）=512，（3分）
解得，x₁=16，x₂=-8（不合题意，舍去）（4分）
∴x+8=24（cm）．（5分）
答：矩形纸板的长和宽分别24cm，16cm．

（2）设所裁剪的矩形是CGHP，延长GH交ND于点M
∵HM∥BN，
∴△HME∽△ANE，
∴

HM

AN

=

ME

NE

．
分两种情况：
当3cm的边在BN上时（如图1）（6分）
设NM为x，则

HM

3

=

6-x

6

．
∴HM=3-

x

2

，∴GH=16-（3-

x

2

）=13+

x

2

；
∴V=4（13+

x

2

-8）（24-x-8）（8分）
=-2（x²-6x-160）=-2（x-3）²+338．
∴当NM为3cm时，长方体纸盒的容积最大．（9分）
当6cm的边在BN上时（如图2）．（10分）
设NM为x，
∴

HM

6

=

3-x

3

，∴HM=6-2x
∴GH=16-（6-2x）=10+2x，
∴V=4（10+2x-8）（24-x-8），
=-8（x-7.5）²+578．（11分）
∵0≤x≤3，且-8＜0，∴V随x增大而增大，
∴当NM为3cm时，长方体纸盒的容积最大．（12分）
综上所知，在BC上取点G，使BG=3cm，这样裁剪的矩形GHPC能使所制作的长方体纸盒的容积最大．