试题

（2010·石家庄一模）如图所示，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．动点M、N分别从A、B两点同时出发，点M以每秒1个单位长的速度沿AB向点B运动；点N以每秒1个单位长的速度沿B-C-D运动；当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）线段BC的长为；
（2）当t为何值时，MN∥AD？
（3）设△DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（4）请直接写出MN⊥BD时t的值．

解：（1）作CE⊥AB，
∵AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．
∴BE=3，
∴CD=

CE2+BE2

=5，
故答案为：5；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵MN∥AD，
∴△BMN∽△BEC，
∴

BN

BC

=

BM

BE

，
即

t

5

=

6-t

3

，
∴t=

15

4

；

（3）①如图4，当点N在BC上时，过点N作NH⊥AB于点H，交DC的延长线于点F，
∴NH=

4

5

t，
∴NF=4-

4

5

t，
S=S_梯形ABCD-S_△ADM-S_△MNB-S_△CDN，
=

2

5

t²-

16

5

t+12（0≤t＜5），
∴S=

2

5

（t-4）²+

28

5

（0≤t＜5），
∴当t=4时，S_最小=

28

5

，
②当点N在CD上时，
S=-2t+16（5≤t≤6），
∴当t=6时，S_最小=4，
综上所述，当t=6时，S_最小=4，

（4）设MN与DB相交于P点，
∵MN⊥BD，易证△MHN∽△DAB，得出

MH

AD

=

HN

AB

，
解得：t=

45

16

．