试题

（2011·保定二模）如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=

3

5

，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，
（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；
（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的

1

4

？
（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．

解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
∵AB=10，sinB=

3

5

，
∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

=

AN

AM

，即

t

10

=

DE

12

=

AN

6

，
∴DE=

6

5

t，AN=

3

5

t，MN=6-

3

5

t．

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
DE=DG=MN，即

6

5

t=6-

3

5

t，
∴t=

10

3

，
∴当t=

10

3

时，正方形DEFG的边GF在BC上；

（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，
S_△CEP+S_△BDQ=

1

2

PC·PE+

1

2

BQ·DQ=

1

2

(PC+BQ)MN
=

1

2

(BC-DE)MN=

1

2

(12-

6

5

t)(6-

3

5

t)
S_△ABC=

1

2

BC·AM=

1

2

×12×6=36
令

1

2

（12-

6

5

t）（6-

3

5

t）=

1

4

×36，
解得t₁=15（舍去），t₂=5，
∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的

1

4

；

（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，
S=DE²=（

6

5

t）²=

36

25

t²，此时t的范围是0≤t≤

10

3

，
当t=

10

3

时，S的最大值为16．
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图2，S=DE·MN=

6

5

t（6-

3

5

t）=-

18

25

t²+

36

5

t，此时t的范围是

10

3

＜t≤10，
∵-

18

25

＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，
∵18＞16，∴S的最大值为18．
解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
∵AB=10，sinB=

3

5

，
∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

=

AN

AM

，即

t

10

=

DE

12

=

AN

6

，
∴DE=

6

5

t，AN=

3

5

t，MN=6-

3

5

t．

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
DE=DG=MN，即

6

5

t=6-

3

5

t，
∴t=

10

3

，
∴当t=

10

3

时，正方形DEFG的边GF在BC上；

（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，
S_△CEP+S_△BDQ=

1

2

PC·PE+

1

2

BQ·DQ=

1

2

(PC+BQ)MN
=

1

2

(BC-DE)MN=

1

2

(12-

6

5

t)(6-

3

5

t)
S_△ABC=

1

2

BC·AM=

1

2

×12×6=36
令

1

2

（12-

6

5

t）（6-

3

5

t）=

1

4

×36，
解得t₁=15（舍去），t₂=5，
∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的

1

4

；

（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，
S=DE²=（

6

5

t）²=

36

25

t²，此时t的范围是0≤t≤

10

3

，
当t=

10

3

时，S的最大值为16．
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图2，S=DE·MN=

6

5

t（6-

3

5

t）=-

18

25

t²+

36

5

t，此时t的范围是

10

3

＜t≤10，
∵-

18

25

＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，
∵18＞16，∴S的最大值为18．