试题

（2011·建邺区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．
（1）当x=s时，DE⊥AB；
（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长；
（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．

解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=

3

2

2

，
故答案为：

3

2

2

．

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4

2

，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

，
∴

3

4 2 -x

=

x

y

，
∴y=-

1

3

x²+

4

3

2

x，
∴y=-

1

3

x²+

4

3

2

x=-

1

3

（x-2

2

）²+

8

3

∴当x=2

2

时，y有最大值=

8

3

，
∵从运动的过程中可以得出点E运动的路程正好是2BF，
∴点E运动路程为2×

8

3

=

16

3

cm，
答：在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式是y=-

1

3

x²+

4

3

2

x，点E运动路线的长为

16

3

cm．

（3）这里有三种情况：
①如图，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=

3

2

2

，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=

3

2

2

；
②如图，若EF=BE，则∠B=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3

2

，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x=3

2

；
③如图，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为

3

2

2

或3

2

或3．
答：x的值为

3

2

2

或3

2

或3．