设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数-青果题库-青果学院

题目：

（2012·西湖区一模）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数 y=(a-

b

2

)x2-cx-a-

b

2

（其中2a≠b），
（1）当b=2a+8c时，求二次函数的对称轴；
（2）当x=1时，二次函数最小值为-

8

5

b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

答案

解：（1）根据二次函数对称轴的公式，得
x=-

-c

2×(a-

b

2

)

=

c

2a-b

=

c

2a-(2a+8c)

=-

1

8

；

（2）根据题意可知
-

-c

2×(a-

b

2

)

=1，
化简得
c=2a-b①，
把x=1代入函数解析式，可得
a-

b

2

-c-a-

b

2

=-

8

5

b，
即c=

3

5

b②，
把②代入①，得
a=

4

5

b，
∴a²+c²=

9

25

b²+

16

25

b²=b²，
∴△ABC是以b为斜边的直角三角形．
解：（1）根据二次函数对称轴的公式，得
x=-

-c

2×(a-

b

2

)

=

c

2a-b

=

c

2a-(2a+8c)

=-

1

8

；

（2）根据题意可知
-

-c

2×(a-

b

2

)

=1，
化简得
c=2a-b①，
把x=1代入函数解析式，可得
a-

b

2

-c-a-

b

2

=-

8

5

b，
即c=

3

5

b②，
把②代入①，得
a=

4

5

b，
∴a²+c²=

9

25

b²+

16

25

b²=b²，
∴△ABC是以b为斜边的直角三角形．

考点梳理

二次函数的性质；二次函数的最值．

试题