试题

如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=4，AC=2

3

，点P在BC边上运动，PD∥AB，交AC于D．设BP的长为x，△APD的面积为y．
（1）求AD的长（用含x的代数式表示）；
（2）求y与x之间的函数关系式，并回答当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）点P是否存在这样的位置，使得△ADP的面积是△ABP面积的

2

3

？若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵PD∥AB，
∴

AD

AC

=

BP

BC

．
∵BC=4，AC=2

3

，BP的长为x，
∴

AD

2 3

=

x

4

．
∴AD=

3

2

x；

（2）过点P作PE⊥AC于E．
∵sin∠ACB=

PE

PC

，∠C=60°，
∴PE=PC×sin60°=

3

2

（4-x）．
∴y=

1

2

AD·PE=

1

2

·

3

2

x·

3

2

（4-x）=-

3

8

x²+

3

2

x．
∴y与x之间的函数关系式为：y=-

3

8

x²+

3

2

x．
∴当x=2时，y的值最大，最大值是

3

2

；

（3）点P存在这样的位置．
∵△ADP与△ABP等高不等底，
∴

S△ADP

S△ABP

=

DP

AB

．
∵△ADP的面积是△ABP面积的

2

3

，
∴

S△ADP

S△ABP

=

2

3

．
∴

DP

AB

=

2

3

．
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB．
∴

DP

AB

=

CP

CB

．
∴

CP

CB

=

2

3

．
∴

4-x

4

=

2

3

．
∴x=

4

3

．
∴BP=

4

3

．
答：（1）AD的长为

3

2

x；
（2）y与x之间的函数关系式是y=-

3

8

x²+

3

2

x，当x等于2时，y的值最大，最大值是

3

2

；
（3）存在这样的位置，BP的长是

4

3

．
解：（1）∵PD∥AB，
∴

AD

AC

=

BP

BC

．
∵BC=4，AC=2

3

，BP的长为x，
∴

AD

2 3

=

x

4

．
∴AD=

3

2

x；

（2）过点P作PE⊥AC于E．
∵sin∠ACB=

PE

PC

，∠C=60°，
∴PE=PC×sin60°=

3

2

（4-x）．
∴y=

1

2

AD·PE=

1

2

·

3

2

x·

3

2

（4-x）=-

3

8

x²+

3

2

x．
∴y与x之间的函数关系式为：y=-

3

8

x²+

3

2

x．
∴当x=2时，y的值最大，最大值是

3

2

；

（3）点P存在这样的位置．
∵△ADP与△ABP等高不等底，
∴

S△ADP

S△ABP

=

DP

AB

．
∵△ADP的面积是△ABP面积的

2

3

，
∴

S△ADP

S△ABP

=

2

3

．
∴

DP

AB

=

2

3

．
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB．
∴

DP

AB

=

CP

CB

．
∴

CP

CB

=

2

3

．
∴

4-x

4

=

2

3

．
∴x=

4

3

．
∴BP=

4

3

．
答：（1）AD的长为

3

2

x；
（2）y与x之间的函数关系式是y=-

3

8

x²+

3

2

x，当x等于2时，y的值最大，最大值是

3

2

；
（3）存在这样的位置，BP的长是

4

3

．