试题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．

解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴∠DGH=∠CHG=∠CDG=90°，
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=

1

2

×（7-1）=3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
由勾股定理得：DG=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）·DG
=

1

2

×（1+7）×4
=16．
答：梯形ABCD的面积是16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
设AE=x，则EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x，
S_矩形MEFN=ME·EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
当x=

7

4

时，ME=

7

3

＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为

49

6

．
答：四边形MEFN面积的最大值是

49

6

．
解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴∠DGH=∠CHG=∠CDG=90°，
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=

1

2

×（7-1）=3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
由勾股定理得：DG=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）·DG
=

1

2

×（1+7）×4
=16．
答：梯形ABCD的面积是16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
设AE=x，则EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x，
S_矩形MEFN=ME·EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
当x=

7

4

时，ME=

7

3

＜4，
∴四边形MEFN面积的最大值为

49

6

．
答：四边形MEFN面积的最大值是

49

6

．