试题

如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？

解：设EC=x，CH=y，则BE=2-x，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC，
∴△BED∽△CHE，
∴

CE

BD

=

CH

BE

，
∵AB=BC=2，点D为AB的中点，
∴BD=1，
∴

x

1

=

y

2-x

，
即：y=-x²+2x=-（x-1）²+1．
∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点．
解：设EC=x，CH=y，则BE=2-x，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC，
∴△BED∽△CHE，
∴

CE

BD

=

CH

BE

，
∵AB=BC=2，点D为AB的中点，
∴BD=1，
∴

x

1

=

y

2-x

，
即：y=-x²+2x=-（x-1）²+1．
∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点．