如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=4，D是线段AB上的动点（点D运动过程中不与点A、点B重合）BD=x，过D作DE⊥AC，DF⊥BC．（1）当点D运动到AB中点M...-青果题库-青果学院

题目：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=4，D是线段AB上的动点（点D运动过程中不与点A、点B重合）BD=x，过D作DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）当点D运动到AB中点M时，线段EF的长度是

2.5

．
（2）设四边形DECF的面积为S，求S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

答案

2.5

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，CB=4，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，青果学院

∴四边形DECF是矩形，
当点D运动到AB中点M时，
则DF=

1

2

AC=

3

2

，DE=

1

2

BC=2，
∴EF=

DE2+DF2

=2.5，

（2））∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=3，
∴△DBF∽△ABC，
∴

DF

AC

=

BD

AB

，
∴

DF

3

=

x

5

，
∴DF=

3

5

x，
同理：DE=

4

5

（5-x），
∴S与x的函数关系式=DE·DF=

12

25

x（5-x）=

12

5

x-

12

25

x²，

（3）由（2）得：s=-

12

25

（x-2.5）²+

3

2

，
∴当x=

5

2

时，s有最大值为1.5．

考点梳理

相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理．

试题