试题

如图，已知矩形ABCD中，AB=40，BC=60，点E为AD中点．点P从点B出发沿折线BE-EC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒3个单位长的速度向点C匀速运动．当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止运动．设点P，Q的运动时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P沿着BE方向运动到点E位置时，请你确定此时点Q的位置；
（2）当点P在BE上运动时（不包括B，E），请你判断四边形ABQP的形状，并说明理由；
（3）设四边形ABQP的面积为S，请你写出S与t的函数关系式；
（4）在点P，Q的运动过程中，四边形ABQP的面积S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵在矩形ABCD中，点E为AD的中点，
∴AE=30，
∵AB=40，
∴BE=50，t=50÷5=10，
∴BQ=10×3=30．
∴此时点Q位于BC的中点；

（2）四边形ABQP是直角梯形．
如图3，当点P在BE上运动时，过点E作EF⊥BC与点F．
则BF=30，BP=5t，BQ=3t，
又∵BE=50，
∴

BP

BE

=

BQ

BF

，
又∵∠PBQ=∠EBF．
∴△PBQ∽△EBF，
∴∠PQB=∠EFB=90°．
∴PQ∥EF∥AB，
∴四边形ABQP是直角梯形；

（3）①当0＜t＜10时，由（2）可知四边形ABQP是直角梯形，
∴S=

1

2

（PQ+AB）BQ=

1

2

（4t+40）×3t=6t²+60t，
②当t=10时，易知四边形ABQP是矩形，
∴S=30×40=1200，
③当10＜t＜20时，如图4，过点P作PN⊥EF与点N，
则∠PNE=∠CFE=90°，
又∵∠PEN=∠CEF，
∴△PEN∽△CEF．
∴

PN

CF

=

EP

EC

=

EN

EF

．
又∵EP=5t-50，EC=50，CF=30，EF=40．
∴EN=4t-40，PN=3t-30，
又∵BQ=3t，
∴FQ=3t-30，
∴PN=FQ，易知四边形NFQP为矩形，
∴PQ∥NF，PQ=NF=80-4t．
∴PQ∥AB，
∴四边形ABQP为直角梯形．
∴S=

1

2

（PQ+AB）BQ=

1

2

（80-4t+40）×3t=-6t²+180t（10＜t＜20）；

（4）当0＜t＜10时，S=6t²+60t，0＜S＜1200；
当t=10时，S=1200；
当10＜t＜20时，S=-6t²+180t=-6（t-15）²+1350，
当t=15时，S=1350．
综上所述，四边形ABQP的面积S存在最大值，最大值为1350．
解：（1）∵在矩形ABCD中，点E为AD的中点，
∴AE=30，
∵AB=40，
∴BE=50，t=50÷5=10，
∴BQ=10×3=30．
∴此时点Q位于BC的中点；

（2）四边形ABQP是直角梯形．
如图3，当点P在BE上运动时，过点E作EF⊥BC与点F．
则BF=30，BP=5t，BQ=3t，
又∵BE=50，
∴

BP

BE

=

BQ

BF

，
又∵∠PBQ=∠EBF．
∴△PBQ∽△EBF，
∴∠PQB=∠EFB=90°．
∴PQ∥EF∥AB，
∴四边形ABQP是直角梯形；

（3）①当0＜t＜10时，由（2）可知四边形ABQP是直角梯形，
∴S=

1

2

（PQ+AB）BQ=

1

2

（4t+40）×3t=6t²+60t，
②当t=10时，易知四边形ABQP是矩形，
∴S=30×40=1200，
③当10＜t＜20时，如图4，过点P作PN⊥EF与点N，
则∠PNE=∠CFE=90°，
又∵∠PEN=∠CEF，
∴△PEN∽△CEF．
∴

PN

CF

=

EP

EC

=

EN

EF

．
又∵EP=5t-50，EC=50，CF=30，EF=40．
∴EN=4t-40，PN=3t-30，
又∵BQ=3t，
∴FQ=3t-30，
∴PN=FQ，易知四边形NFQP为矩形，
∴PQ∥NF，PQ=NF=80-4t．
∴PQ∥AB，
∴四边形ABQP为直角梯形．
∴S=

1

2

（PQ+AB）BQ=

1

2

（80-4t+40）×3t=-6t²+180t（10＜t＜20）；

（4）当0＜t＜10时，S=6t²+60t，0＜S＜1200；
当t=10时，S=1200；
当10＜t＜20时，S=-6t²+180t=-6（t-15）²+1350，
当t=15时，S=1350．
综上所述，四边形ABQP的面积S存在最大值，最大值为1350．