试题

如图，点D在△ABC的边上且与点B、C不重合，过点D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，已知BC=5，S_△ABC=S．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）设BD=x，写出y=S_·AEDF关于x的函数解析式，并求出·AEDF的最大面积；
（3）若S_·AEDF=

2

5

S，求出BD的长．

证明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△ABC．
∴

三角形BDE的面积

三角形ABC的面积

=(

BD

BC

)2，

三角形CDF的面积

三角形ABC的面积

=(

CD

BC

)2．
则三角形BDE的面积=

x2

25

S，三角形CDF的面积=

(5-x)2

25

S．
则y=S-

x2

25

S-

(5-x)2

25

S=（-

2

25

x2+

2

5

x）S，且y的最大值是

1

2

S；

（3）若S_·AEDF=

2

5

S，则（-

2

25

x2+

2

5

x）S=

2

5

S，
解得x=

5± 5

2

．
又x＜5，
则x=

5- 5

2

．
证明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△ABC．
∴

三角形BDE的面积

三角形ABC的面积

=(

BD

BC

)2，

三角形CDF的面积

三角形ABC的面积

=(

CD

BC

)2．
则三角形BDE的面积=

x2

25

S，三角形CDF的面积=

(5-x)2

25

S．
则y=S-

x2

25

S-

(5-x)2

25

S=（-

2

25

x2+

2

5

x）S，且y的最大值是

1

2

S；

（3）若S_·AEDF=

2

5

S，则（-

2

25

x2+

2

5

x）S=

2

5

S，
解得x=

5± 5

2

．
又x＜5，
则x=

5- 5

2

．