试题

如图，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，点P是斜边AB上的一动点，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形PECF是矩形；
（2）想一想，当点P运动到什么地方时，△APF与△PBE全等，证明你的猜想；
（3）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF是正方形，证明你的猜想；
（4）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF的面积最大，并求出这个最大值．

解：（1）证明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°（1分）
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；（2分）

（2）P运动到线段AB的中点时，△APF与△PBE全等（3分）
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A（4分）
同理∠APF=∠B，
若点P是AB的中点则有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

（3）当AP=

15

7

时，四边形PECF是正方形，
由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，
则有PE=PF，设PE=PF=x，
则CF=x，AF=3-x，（6分）
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，（7分）
∴

PF

AF

=

BC

AC

=

4

3

，即

x

3-x

=

4

3

，
解得x=

12

7

，
经检验x=

12

7

是方程的根，
∴AF=3-x=

9

7

，CF=x=

12

7

，
在Rt△AFP中，根据勾股定理得：AP=

AF2+PF2

=

15

7

，
即当AP=

15

7

时，PE=PF=

12

7

，
矩形PECF是正方形；

（4）当AP=

5

2

时，四边形PECF的面积最大．
由（1）知四边形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根据勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=5，（9分）
设AP=x，则由△APF∽△ABC可得：

PF

AP

=

BC

AB

=

4

5

，即PF=

4

5

x，

AF

AP

=

AC

AB

=

3

5

，即AF=

3

5

x，
∴PE=3-

3

5

x，
∴S_矩形PECF=PF·FC=

4

5

x（3-

3

5

x）（10分）
∵

4

5

x（3-

3

5

x）=-

12

25

（x-

5

2

）²+3，
∴当x=

5

2

时四边形PECF的面积最大，最大值为3．（11分）
解：（1）证明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°（1分）
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；（2分）

（2）P运动到线段AB的中点时，△APF与△PBE全等（3分）
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A（4分）
同理∠APF=∠B，
若点P是AB的中点则有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

（3）当AP=

15

7

时，四边形PECF是正方形，
由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，
则有PE=PF，设PE=PF=x，
则CF=x，AF=3-x，（6分）
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，（7分）
∴

PF

AF

=

BC

AC

=

4

3

，即

x

3-x

=

4

3

，
解得x=

12

7

，
经检验x=

12

7

是方程的根，
∴AF=3-x=

9

7

，CF=x=

12

7

，
在Rt△AFP中，根据勾股定理得：AP=

AF2+PF2

=

15

7

，
即当AP=

15

7

时，PE=PF=

12

7

，
矩形PECF是正方形；

（4）当AP=

5

2

时，四边形PECF的面积最大．
由（1）知四边形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根据勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=5，（9分）
设AP=x，则由△APF∽△ABC可得：

PF

AP

=

BC

AB

=

4

5

，即PF=

4

5

x，

AF

AP

=

AC

AB

=

3

5

，即AF=

3

5

x，
∴PE=3-

3

5

x，
∴S_矩形PECF=PF·FC=

4

5

x（3-

3

5

x）（10分）
∵

4

5

x（3-

3

5

x）=-

12

25

（x-

5

2

）²+3，
∴当x=

5

2

时四边形PECF的面积最大，最大值为3．（11分）