试题

如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E．
（1）试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；
（2）连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形；
（3）设AP=x，△PBE的面积为y，
①求出y关于x 函数关系式；
②当点P落在AC的何处时，△PBE的面积最大，此时最大值是多少？

证：（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，
∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），
∴PE=PD；

（2）∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，
∴△APB≌△APD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PB，
∴△PBE为等腰三角形；

（3）①∵AP=x，
∴BF=PG=

2

2

x，PF=1-

2

2

x，
∴S△PBE=BF·PF=

2

2

x(1-

2

2

x)=-

1

2

x2+

2

2

x．
即y=-

1

2

x2+

2

2

x（0＜x＜

2

），
②y=-

1

2

x2+

2

2

x=-

1

2

( x-

2

2

)2+

1

4

．
∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=

2

2

时，y最大值=

1

4

．
证：（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，
∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），
∴PE=PD；

（2）∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，
∴△APB≌△APD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PB，
∴△PBE为等腰三角形；

（3）①∵AP=x，
∴BF=PG=

2

2

x，PF=1-

2

2

x，
∴S△PBE=BF·PF=

2

2

x(1-

2

2

x)=-

1

2

x2+

2

2

x．
即y=-

1

2

x2+

2

2

x（0＜x＜

2

），
②y=-

1

2

x2+

2

2

x=-

1

2

( x-

2

2

)2+

1

4

．
∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=

2

2

时，y最大值=

1

4

．