在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm/s；点Q沿线段AD的方向...-青果题库-青果学院

题目：

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm/s；点Q沿线段AD的方向运动，速度为1cm/s．当P、Q其中一点先青果学院

到达终点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm²）．
（1）当点P在线段AB上运动时，是否存在某个t的值使∠CQP=60°？通过计算说明；
（2）当点P在CD上时，是否存在某个t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）试探究：点P在整个运动过程中，当t取何值时，S的值最大？并求出最大值．

答案

解：（1）不存在，
过B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm，
∴AE=DF=3cm，
∴cosA=

AE

AB

=

3

6

=

1

2

，
∴∠A=∠D=60°，
若∠CQP=60°，则∠CQD+∠AQP=120°，
∵∠DCQ+∠CQD=120°，
∴∠DCQ=∠AQP，
∴△CDQ∽△AQP，
∴

CD

AQ

=

DQ

AP

，
∵AP=2t AQ=tDQ=8-t，
∴

6

t

=

8-t

2t

，
∴t₁=0，t_2⁼-4，
∵点P在线段AB上运动
∴0＜t＜3
∴不存在某个t的值使∠CQP=60°．

（2）存在，过点P作PF⊥AD于F，
∵PD=14-2t，
∴PF=PD·sinD=（14-2t）·

3

2

=-

3

t+7

3

．
∴DF²=PD²-PF²=（14-2t）²-（-

3

t+7

3

）²又∵FQ=8-AQ-DF
∴PQ²=PF²+FQ²∴t=

21-

145

2

∴当点P在CD上时，存在某个t的值使PQ=AQ．

（3）当点P在线段CD上（不与D点重合）时，4≤t＜7．
过点P作PF⊥AD于F，如图．青果学院

∵PD=14-2t，
∴PF=PD·sinD=（14-2t）·

3

2

=-

3

t+7

3

．
∴S=

1

2

·t(-

3

t+7

3

)=-

3

2

t2+

7

3

2

t（4≤t＜7）．
①∵当0＜t≤3时．S=

3

2

t2．
由函数图象可知，S随t的增大而增大，
∴当t=3时，S_最大=

9

3

2

；
②当3≤t≤4时，S=

3

2

t．
由函数图象可知，S随t的增大而增大，
∴当t=4时，S_最大=6

3

；
③当4≤t＜7时，S=-

3

2

t2+

7

3

2

t．
由函数图象知，S随t的增大而减小，
∴当t=4时，S_最大=6

3

．（13分）
综上所述，在整个运动过程中，当t=4时，S的值最大．
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