试题

如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并保证三角板的两直角边PE、PF分别与线段AC、AB相交，交点分别为N、M．线段MN、AP相交于点D．
（1）请你猜出线段PM与PN的大小关系，并说明理由；
（2）设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，试用关于x的代数式表示y；
（3）当AM的长x取何值时，△PMN的面积y最小？最小值是多少？

解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∠APE=90°-∠APF=∠BPF，
又AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，
∴△NAP≌△MBP，
∴PN=PM，

（2）作PW⊥AC，PR⊥AB，
∴PW∥AB，PR∥AC，
∵P是BC的中点，
∴PW=1，PR=1，
∵设线段AM的长为x，
∴BM=2-x，
∵BM=AN，
∴CN=2-（2-x）=x，
∴y=S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM
=

1

2

×2×2-

1

2

×x×1-

1

2

×1×（2-x）-

1

2

x（2-x），
=2-

1

2

x-1+

1

2

x-x+

1

2

x²，
=

1

2

x²-x+1，

（3）当x=-

b

2a

=-

-1

2× 1 2

=1时，△PMN的面积y最小，
最小值为：

4ac- b2

4a

=

4× 1 2 ×1-1

4× 1 2

=

1

2

．
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∠APE=90°-∠APF=∠BPF，
又AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，
∴△NAP≌△MBP，
∴PN=PM，

（2）作PW⊥AC，PR⊥AB，
∴PW∥AB，PR∥AC，
∵P是BC的中点，
∴PW=1，PR=1，
∵设线段AM的长为x，
∴BM=2-x，
∵BM=AN，
∴CN=2-（2-x）=x，
∴y=S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM
=

1

2

×2×2-

1

2

×x×1-

1

2

×1×（2-x）-

1

2

x（2-x），
=2-

1

2

x-1+

1

2

x-x+

1

2

x²，
=

1

2

x²-x+1，

（3）当x=-

b

2a

=-

-1

2× 1 2

=1时，△PMN的面积y最小，
最小值为：

4ac- b2

4a

=

4× 1 2 ×1-1

4× 1 2

=

1

2

．