试题

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过P点作PQ⊥AP交DC于Q点，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）求点P在BC边上运动的过程中y的最大值．

解：如上图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，即

x

y

=

4

4-x

∴y=-

1

4

x2+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=-

1

4

x2+x
∴y=-

1

4

(x-2)2+1
∴当x=2时，y有最大值1cm．
解：如上图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，即

x

y

=

4

4-x

∴y=-

1

4

x2+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=-

1

4

x2+x
∴y=-

1

4

(x-2)2+1
∴当x=2时，y有最大值1cm．