试题

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以每秒2cm的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以每秒1cm的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，用含t的代数式表示y，并探究何时四边形AFEC的面积最小．

解：（1）∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC．
∵AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°．
∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵△ACD∽△BAC，
∴

DC

AC

=

AC

AB

．
∴DC=

AC2

AB

=

64

10

=

32

5

（cm）；

（3）
作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N．
∵S_△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

AB·CM，
∴CM=

AC·BC

AB

=

48

10

=

24

5

．
∵CM∥EN，
∴

EN

CM

=

BE

BC

，
∴EN=

CM·BE

BC

=

4

5

t．
S_{四边形AFEC}=S_△ABC-S_△BEF
=

1

2

×6×8-

1

2

×（10-2t）×

4

5

t
=24-4t+

4

5

t²，
即 y=

4

5

t²-4t+24．（0＜t＜5）
∵

4

5

＞0，∴y有最小值．
当t=-

-4

2× 4 5

=2.5时，y值最小．
解：（1）∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC．
∵AC⊥BC，
∴∠D=∠ACB=90°．
∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵△ACD∽△BAC，
∴

DC

AC

=

AC

AB

．
∴DC=

AC2

AB

=

64

10

=

32

5

（cm）；

（3）
作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N．
∵S_△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

AB·CM，
∴CM=

AC·BC

AB

=

48

10

=

24

5

．
∵CM∥EN，
∴

EN

CM

=

BE

BC

，
∴EN=

CM·BE

BC

=

4

5

t．
S_{四边形AFEC}=S_△ABC-S_△BEF
=

1

2

×6×8-

1

2

×（10-2t）×

4

5

t
=24-4t+

4

5

t²，
即 y=

4

5

t²-4t+24．（0＜t＜5）
∵

4

5

＞0，∴y有最小值．
当t=-

-4

2× 4 5

=2.5时，y值最小．