如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，点A、B、C的坐标分别为（2，6），（8，6），（8，0）．动点F、D分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点F沿...-青果题库-青果学院

题目：

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，点A、B、C的坐标分别为（2，6），（8，6），（8，0）．动点F、D分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点F沿OC向终点C运动，点D沿BA向终点A运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点D作DE⊥AB，交OB于E，连接EF．已知动点运青果学院

动了x秒．
（1）x的取值范围为多少？
（2）E点的坐标为

（8-x，6-

3

4

x）

（8-x，6-

3

4

x）

；（用含x的代数式表示）
（3）试求△OFE面积的最大值，并求此时x的值．
（4）请你探索：△OFE能否成为以OF为底边的等腰三角形？如能请求出x的值．

答案

（8-x，6-

3

4

x）

解：（1）∵AB=8-2=6，
∴0≤x≤6；

（2）过E作EG⊥BC于G，
∵AB∥OC，
∴∠OBE=∠COB，
∵∠EDB=∠BCO=90°，
∴△BDE∽△OCB，
∴DB：DE=OC：BC，
∴x：DE=8：6，
∴DE=

3

4

x，
又∵四边形DEGB是矩形，
∴EG=x，BG=

3

4

x，
∴E点坐标是：（8-x，6-

3

4

x）；

（3）设△OEF的面积为S，在△OEF中，OF=x，OF边上的高EH=CG=6-

3

4

x，
其中，0≤x≤6，
∴S=

1

2

x·（6-

3

4

x）=-

3

8

(x2-8x)=-

3

8

(x-4)2+6，
∴S的最大值为6，此时x=4；

（4）延长DE交x轴于H，则有EH⊥OC，
若HF=HO且EH⊥OC（点F在点H的右边），则△OFE就可以OF为底边的等腰三角形，
∵OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，
∴8-x=2x-8，
∴x=

16

3

（

16

3

＜6成立）．

考点梳理

直角梯形；坐标与图形性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质．

试题