试题

题目：
已知关于x的一元二次方程x2+（6-2m）x=-m2+4m-3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，是否存在实数m，使得2x12+2x22-3x1·x2有最小值？若存在，求出m的值和这个最小值；若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0，
根据题意得△=（6-2m）2-4（m2-4m+3）≥0，
解得m≤3；
（2）根据题意得为x1+x2=2m-6，x1·x2=m2-4m+3，
所以2x12+2x22-3x1·x2=2（x1+x2）2-7x1·x2
=2（2m-6）2-7（m2-4m+3）
=m2-20m+51
=（m-10）2-49，
∵m≤3，
∴当m=3时，2x12+2x22-3x1·x2有最小值，最小值为0．
解：（1）x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0，
根据题意得△=（6-2m）2-4（m2-4m+3）≥0，
解得m≤3；
（2）根据题意得为x1+x2=2m-6，x1·x2=m2-4m+3，
所以2x12+2x22-3x1·x2=2（x1+x2）2-7x1·x2
=2（2m-6）2-7（m2-4m+3）
=m2-20m+51
=（m-10）2-49，
∵m≤3，
∴当m=3时，2x12+2x22-3x1·x2有最小值，最小值为0．
考点梳理
根的判别式；根与系数的关系；二次函数的最值．
（1）先把方程化为一般式得到x2+（6-2m）x+m2-4m+3=0，再根据判别式的意义得到△=（6-2m）2-4（m2-4m+3）≥0，然后解不等式得到m≤3；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m-6，x1·x2=m2-4m+3，再变形2x12+2x22-3x1·x2得到2（x1+x2）2-7x1·x2，则原式=2（2m-6）2-7（m2-4m+3）
=m2-20m+51，然后配方得到原式=（m-10）2-49，最后根据二次函数的最最值问题求解．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系和二次函数的最值问题．
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