试题

题目：
（2008·黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是
2
2
．
答案
2

解：∵a+b2=1，
∴a=1-b2
∴2a2+7b2=2（1-b2）2+7b2=2b4+3b2+2=2（b2+
3
4
）2+2-
9
8
=2（b2+
3
4
）2+
7
8
，
∵b2≥0，
∴2（b2+
3
4
）2+
7
8
＞0，
∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b2=1，
∴b2=1-a，
∴2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2（a-
7
4
）2+
7
8
，
∵b2≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
考点梳理
二次函数的最值．
根据a+b2=1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合结合函数的性质及b的取值范围求得结果．
此题比较复杂，是中学阶段的难点，综合性比较强，解答此题的关键是先求出b的取值范围，再把已知代数式变形后代入未知，把求代数式的最小值转化为求函数式的最小值，结合函数的性质及b的取值范围解答．
压轴题．
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