试题

题目：
（2010·随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最青果学院大时，圆柱的底面半径是
1
1
cm．
答案
1

解：扇形的弧长=4πcm，
∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，
∴圆锥的高为
42-22
=2
3
cm，
设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．
r
2
=
2
3
-R
2
3
，
解得：R=2
3
-
3
r，
∴圆柱的侧面积=2π×r×（2
3
-
3
r）=-2
3
πr2+4
3
πr（cm2），
∴当r=
4
3
π
-2×(-2
3
π)
=1cm时，圆柱的侧面积有最大值．
考点梳理
圆柱的计算；二次函数的最值；圆锥的计算．
易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．
用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；相似三角形的相似比相等及二次函数最值相应的自变量的求法等知识．
压轴题．
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