试题

题目：
青果学院（2011·日照）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=
2
2
时，四边形ABCN的面积最大．
答案
2

解：设BM=x，则MC=4-x，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则
AB
MC
=
BM
CN
，即
4
4-x
=
x
CN
，
解得CN=
x(4-x)
4
，
∴S四边形ABCN=
1
2
×4×[4+
x(4-x)
4
]=-
1
2
x2+2x+8，
∵-
1
2
＜0，
∴当x=-
b
2a
=-
2
2(- 
1
2
)
=2时，S四边形ABCN最大．
故答案为：2．
考点梳理
二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
设BM=x，则MC=4-x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．
应用题；压轴题．
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