试题

题目：
青果学院（2013·百色）如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为
5
2
5
2
cm．
答案
5
2

青果学院解：设AP=x，BE=y．
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°
∵PE⊥DP，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△ADP∽△BPE，
∴
AD
BP
=
AP
BE
，即
10
10-x
=
x
y
，
∴y=-
1
10
x2+x=-
1
10
（x-5）2+
5
2
（0＜y＜10）；
∴当x=5时，y有最大值
5
2
．
故答案是：
5
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．
设AP=x，BE=y．通过△ABP∽△PCQ的对应边成比例得到
AD
BP
=
AP
BE
，所以
10
10-x
=
x
y
，即y=-
1
10
x2+x．利用“配方法”求该函数的最大值．
本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．
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