试题

题目：
已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取何实数，方程总有实数根；
（2）若方程有两个不等实根x1，x2，且满足
x
2
1
-2x1+kx2=4，求k的值．
答案
解：（1）△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，
∵（k-2）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何实数，方程总有实数根；

（2）根据题意得x1+x2=k+2，x1x2=2k，
∴x12-（k+2）x1+2k=0，
∴x12=（k+2）x1-2k，
∵
x
2
1
-2x1+kx2=4，
∴（k+2）x1-2k-2x1+kx2=4，
∴kx1-2k+kx2=4，
∴k（x1+x2）-2k=4，
∴k2=4，
∴k1=-2，k2=2．
解：（1）△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，
∵（k-2）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何实数，方程总有实数根；

（2）根据题意得x1+x2=k+2，x1x2=2k，
∴x12-（k+2）x1+2k=0，
∴x12=（k+2）x1-2k，
∵
x
2
1
-2x1+kx2=4，
∴（k+2）x1-2k-2x1+kx2=4，
∴kx1-2k+kx2=4，
∴k（x1+x2）-2k=4，
∴k2=4，
∴k1=-2，k2=2．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
（1）先计算出）△=（k+2）2-8k=（k-2）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到无论k取何实数，方程总有实数根；
（2）利用方程解的意义得到x12-（k+2）x1+2k=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=k+2，x1x2=2k，由
x
2
1
-2x1+kx2=4得到k2=4，然后解方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1·x2=
c
a
．也考查了一元二次方程的根的判别式．
计算题．
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