试题
题目：
已知关于x的方程
1
4
x
2
-(m-2)x+
m
2
=0
是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值．
答案
解：假设存在，则有x
1
2
+x
2
2
=224．
∵x
1
+x
2
=4m-8，
x
1
x
2
=4m
2
，
∴（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=224．
即（4m-8）
2
-2×4m
2
=224，
∴m
2
-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m
1
=10，m
2
=-2．
∵△=（m-2）
2
-m
2
=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m
1
=10，m
2
=-2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．
解：假设存在，则有x
1
2
+x
2
2
=224．
∵x
1
+x
2
=4m-8，
x
1
x
2
=4m
2
，
∴（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=224．
即（4m-8）
2
-2×4m
2
=224，
∴m
2
-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m
1
=10，m
2
=-2．
∵△=（m-2）
2
-m
2
=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m
1
=10，m
2
=-2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
利用根与系数的关系，化简x
1
2
+x
2
2
=224，即（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．