试题
题目：
阅读材料：∵ax
2
+bx+c=0（a≠0）有两根为
x
1
=
-b+
b
2
-4ac
2a
．
x
2
=
-b-
b
2
-4ac
2a
．∴
x
1
+
x
2
=
-2b
2a
=-
b
a
，
x
1
·
x
2
=
b
2
-(
b
2
-4ac)
4
a
2
=
c
a
．综上得，设ax
2
+bx+c=0（a≠0）的两根为x
1
、x
2
，则有
x
1
+
x
2
=-
b
a
，
x
1
x
2
=
c
a
．利用此知识解决：
（1）已知x
1
，x
2
是方程x
2
-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x
1
2
+x
2
2
；②（x
1
+1）（x
2
+1）；
（2）是否存在实数m，使关于x的方程x
2
+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．
答案
解：（1）∵x
1
，x
2
是方程x
2
-x-1=0的两根，
∴x
1
+x
2
=1，x
1
x
2
=-1，
∴①x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=1-2×（-1）=3；
②（x
1
+1）（x
2
+1）=x
1
x
2
+（x
1
+x
2
）+1=-1+1+1=1．
（2）设方程的两根是a、b，则
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a
2
+b
2
=（a+b）
2
-2ab=（m+1）
2
-2（m+4）=2，
解得m=±3．
解：（1）∵x
1
，x
2
是方程x
2
-x-1=0的两根，
∴x
1
+x
2
=1，x
1
x
2
=-1，
∴①x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=1-2×（-1）=3；
②（x
1
+1）（x
2
+1）=x
1
x
2
+（x
1
+x
2
）+1=-1+1+1=1．
（2）设方程的两根是a、b，则
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a
2
+b
2
=（a+b）
2
-2ab=（m+1）
2
-2（m+4）=2，
解得m=±3．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系．
（1）先根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2的值，再对①利用完全平方公式变形，最后把x1+x2，x1x2的值代入计算即可，对②利用多项式乘以多项式展开，再结合，然后把把x1+x2，x1x2的值代入计算即可；
（2）先根据根与系数的关系得出a+b，ab的值，再利用完全平方公式对a
2
+b
2
变形，再代入a+b，ab的值，进而可求m．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意整体代入以及完全平方公式的利用．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．