试题
题目：
方程3x
2
-x-1=0的两根是x
1
，x
2
，求下列式子的值．
（1）
1
x
1
+
1
x
2
；
（2）（x
1
-1）（x
2
-1）．
答案
解：∵方程3x
2
-x-1=0的两根是x
1
，x
2
，
∴x
1
+x
2
=
1
3
，x
1
x
2
=-
1
3
，
（1）
1
x
1
+
1
x
2
=
x
1
+x
2
x
1
x
2
=-1；
（2）（x
1
-1）（x
2
-1）=x
1
x
2
-（x
1
+x
2
）+1=-
1
3
-
1
3
+1=
1
3
．
解：∵方程3x
2
-x-1=0的两根是x
1
，x
2
，
∴x
1
+x
2
=
1
3
，x
1
x
2
=-
1
3
，
（1）
1
x
1
+
1
x
2
=
x
1
+x
2
x
1
x
2
=-1；
（2）（x
1
-1）（x
2
-1）=x
1
x
2
-（x
1
+x
2
）+1=-
1
3
-
1
3
+1=
1
3
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系．
由方程的二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为-1，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，
（1）将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把两根之和与两根之积代入即可求出值；
（2）利用去括号法则去括号整理后，把两根之和与两根之积代入即可求出值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0），当b
2
-4ac≥0时，方程有解，设两解分别为x
1
，x
2
，则有x
1
+x
2
=-
b
a
，x
1
x
2
=
c
a
．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．