试题
题目：
已知α、β是方程x
2
-7x+8=0的两根，且α＞β，则
2
α
+3β
2
的值为（ ）
A．
1
8
（403+85
17
）
B．
1
4
（403-85
17
）
C．95
D．
17
答案
A
解：设p=
2
α
+3β
2
，q=
2
β
+3α
2
，
∴p+q=
2(α+β)
αβ
+3（α+β）
2
-6αβ
p-q=
2(β-a)
αβ
+3（α-β）（α+β）
∵α、β是方程x
2
-7x+8=0的两根，
∴α+β=7，αβ=8，
∴（α-β）
2
=（α+β）
2
-4αβ=17，
∵α＞β，则α-β=
17
，代入后得p+q=
403
4
，p-q=
2×(-
17
)
8
+3×
17
×7=
83
17
4
，
∴p=
1
8
（403+83
17
）即则
2
α
+3β
2
=
1
8
（403+83
17
）．
故选A．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；代数式求值；一元二次方程的解．
先设p=
2
α
+3β
2
，q=
2
β
+3α
2
，再求出p+q及p-q的表达式，利用韦达定理求出其值p+q及p-q的值，根据α＞β即可求出代数式的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，根据题意设出p=
2
α
+3β
2
，q=
2
b
+3α
2
，是解答此题的关键．
探究型．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．