试题
题目：
如果方程（x-a）（x-b）=1的两根为α，β．那么方程（x-α）（x-β）=-1的两根的平方和为（ ）
A．a
2
+b
B．a+b
2
C．a
2
+b
2
D．a
2
+b+b
2
答案
C
解：∵（x-a）（x-b）=1，
∴x
2
-（a+b）x+ab-1=0，
∴α+β=a+b，αβ=ab-1，
方程（x-α）（x-β）=-1整理可得x
2
-（α+β）x+αβ+1=0，
若x
1
、x
2
是方程（x-α）（x-β）=-1的两个根，那么
x
1
+x
2
=α+β=a+b，x
1
x
2
=αβ+1=ab，
∴x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=（a+b）
2
-2ab=a
2
+b
2
，
故选C．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系．
由于方程（x-a）（x-b）=1的两根为α、β，根据根与系数的关系可得α+β、αβ的值，再设x
1
、x
2
是方程（x-α）（x-β）=-1的两个根，再利用根与系数的关系可得x
1
+x
2
=α+β=a+b，x
1
x
2
=αβ+1=ab，最后结合完全平方公式可求x
1
2
+x
2
2
的值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是先求出α+β和αβ的值，再进行代换．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．