试题
题目：
已知二次方程x
2
-3x+1=0的两根为α、β，求①|α-β|；②α
3
+β
3
；③α
3
-β
3
；④
α
β
+
β
α
答案
解：∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=
(α-β)
2
=
(α+β)
2
-4αβ
=
9-4
=
5
．
②α
3
+β
3
=（α+β）（α
2
-αβ+β
2
）=（α+β）[（α+β）
2
-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α
3
-β
3
=（α-β）（α
2
+αβ+β
2
）=（α-β）[（α+β）
2
-αβ]
由①知α-β=±
5
，
∴原式=±
5
（9-1）=±8
5
．
④
β
α
+
α
β
=
β
2
αβ
+
α
2
αβ
∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=
α+β
αβ
=
3
1
=3．
解：∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=
(α-β)
2
=
(α+β)
2
-4αβ
=
9-4
=
5
．
②α
3
+β
3
=（α+β）（α
2
-αβ+β
2
）=（α+β）[（α+β）
2
-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α
3
-β
3
=（α-β）（α
2
+αβ+β
2
）=（α-β）[（α+β）
2
-αβ]
由①知α-β=±
5
，
∴原式=±
5
（9-1）=±8
5
．
④
β
α
+
α
β
=
β
2
αβ
+
α
2
αβ
∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=
α+β
αβ
=
3
1
=3．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；一元二次方程的解．
根据根与系数的关系，写出α+β和αβ的值，再把要求的代数式转化成含有α+β和αβ的形式，求出代数式的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系求出两根的和与两根的积，然后代入代数式求出代数式的值．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．