试题
题目：
设不等式ax
2
+bx+c＞0的解集是x|α＜x＜β（0＜α＜β，a＜0），求不等式cx
2
+bx+a＜0的解集．
答案
解：由题意知a＜0，且α，β为方程ax
2
+bx+c=0的两根，则
α＜0
α+β=-
b
a
αβ=
c
a
，
设cx
2
+bx+a=0的两根为x，和x
2
（x
1
＜x
2
）则
x
1
+
x
2
=-
b
c
=
α+β
αβ
=
1
β
+
1
α
x
1
x
2
=
a
c
=
1
αβ
=
1
α
·
1
β
，
∵0＜α＜β，
∴
1
β
＜
1
α
，
∴x
1
=
1
β
，x
2
=
1
a
，
又∵c＜0，
∴cx
2
+bx+a＜0，
解集是{x|x
1
＜
1
β
或x
2
＞
1
α
}．
解：由题意知a＜0，且α，β为方程ax
2
+bx+c=0的两根，则
α＜0
α+β=-
b
a
αβ=
c
a
，
设cx
2
+bx+a=0的两根为x，和x
2
（x
1
＜x
2
）则
x
1
+
x
2
=-
b
c
=
α+β
αβ
=
1
β
+
1
α
x
1
x
2
=
a
c
=
1
αβ
=
1
α
·
1
β
，
∵0＜α＜β，
∴
1
β
＜
1
α
，
∴x
1
=
1
β
，x
2
=
1
a
，
又∵c＜0，
∴cx
2
+bx+a＜0，
解集是{x|x
1
＜
1
β
或x
2
＞
1
α
}．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
一元二次不等式；根与系数的关系．
利用已知条件求出cx
2
+bx+a=0的两根，比较大小，写出解集．
本题考查一元二次不等式的解，关键是知道一元二次不等式解集和对应的一元二次方程之间解的联系．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．